等差数列求和公式是什么

等差数列是按照一定规律排列的数列，而等差数列求和公式用于计算等差数列从首项至末项的和。常用的方法有公式法、错位相减法、倒序相加法、分组法、裂项法、数学归纳法、通项化归等。

1. 等差数列公式：

等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d，其中an表示数列的第n项，a1表示数列的首项，d表示公差。

2. 前n项和公式：

等差数列的前n项和：Sn = na1 + n(n-1)d/2，其中Sn表示数列的前n项和。

3. 公差为1时的特殊情况：

当等差数列的公差d为1时，前n项和公式简化为：Sn = (a1 + an)n/2。

4. 等差数列的性质：

4.1 等差数列中存在相等和差相等的两组项。若m + n = p + q，存在am + an = ap + aq。

4.2 若m + n = 2p，则am + an = 2ap。

5. 项数的计算：

等差数列的项数可以通过项数公式进行计算：项数 = (尾数 首数) / 公差 + 1。

6. 等差中项公式：

等差数列的中项是指位于首项和末项之间的项，可以通过等差中项公式进行计算：2an+1 = an + an+2，其中an表示中项的值。

7. 应用举例：

例1：对于数列1, 2, 3, 4, ..., 99, 100，求其各项相加的和。

解析：根据等差数列的首项a1=1，末项a100=100，项数n=100，公差d=1，使用前n项和公式可得：

Sn = 100 * 1 + 100 * (100-1) / 2 = 5050。

例2：找出满足m + n = p + q的四个不同项的等差数列。

解析：根据等差数列的性质4.1可知，可以通过选取不同的首项和公差来构造满足条件的四个不同项。例如选取首项a1=1，公差d=1，则符合条件的四个项分别为：1+2=3+1，1+3=2+2，1+4=4+1，2+3=4+1。

等差数列求和公式是一种用于计算等差数列从首项至末项的和的公式。通过等差数列的通项公式和前n项和公式，我们可以方便地计算出等差数列的和。等差数列还具有一些特殊的性质和应用领域，如等差中项公式和构造满足特定条件的数列等。