有限单元法的基本思想是什么?,有限单元法原理及应用

什么是有限元法和有限差分法?

有限元法（finiteelementmethod）是一种高效能、常用的数值计算方法。科学计算领域，常常需要求解各类微分方程，而许多微分方程的解析解一般很难得到，使用有限元法将微分方程离散化后，可以编制程序，使用计算机辅助求解。有限元法是利用插值原理对求域进行近似求解，将求解域划分网格，每个网格看作一个单元进行求解，这样可以得到若干有限个单元的解，这些解的集和构成整体函数的解。有限差分法是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。有限差分是把连续的，离散为一个个点，用各个点的变量来表示整个连续范围内的变化，离散形式大体是将偏微分变为相邻点相相除的格式（比如什么前差后差，中心差二阶迎风等等）。有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法,至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格,用有限个网格节点代替连续的求解域。

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基本思想：化整为化零为整有限元法是在连续体上直接进行近似计算的一种数值方法，其基本思想通过下面的例子来说明。有限元法(finiteelementmethod)是一种高效能、常用的数值计算方法。科学计算领域，常常需要求解各类微分方程，而许多微分方程的解析解一般很难得到，使用有限元法将微分方程离散化后，可以编制程序，使用计算机辅助求解。第二步总装求解:将单元总装成整个离散域的总矩阵方程(联合方程组)。总装是在相邻单元结点进行。状态变量及其导数(如果可能)连续性建立在结点处。联立方程组的求解可用直接法、迭代法。求解结果是单元结点处状态变量的近似值。有限元法的基本思想如下：把变形体看成是有限数目单元体的集合，单元之间只在指定节点处铰接，再无任何关连，通过这些节点传递单元之间的相互作用。如此离散的变形体，即为实际变形体的计算模型。有限元求解问题的基本步骤通常为：第一步：问题及求解域定义：根据实际问题近似确定求解域的物理性质和几何区域。

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有限元法，也称有限单元法或有限元素法，其基本思想是将求解区域离散为一组有限且按一定方式相互连接在一起的单元的组合体，它是随着电子计算机的发展而需素发展起来的一种现代计算方法。有限元法：对物理模型进行离散，网格划分不用规则，就是各种单元可以混合使用，所以写不出方程也可以求解。差分法：划分的网格是规则的，对方程进行离散化，就是用很多个差分代替微分，用线性方程组代替微分方程的一种方法。2有限单元法的基本方程从数学角度来看，有限单元法是把求解域内的连续场函数转化为求解有限个离散点处的场函数值，显然这种离散化的处理是一种近似，因此当单元划分的适当时，才能保证求解精度。有限单元法，是一种有效解决数学问题的解题方法。基本思想：由解给定的泊松方程化为求解泛函的极值问题。概念：将待解区域进行分割，离散成有限个元素的集合。元素（单元）的形状原则上是任意的。二维问题一般采用三角形单元或矩形单元，三维空间可采用四面体或多面体等。

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显然单元越小（网格越细）则离散域的近似程度越好，计算结果也越精确，但计算量及误差都将增大，因此求解域的离散化是有限元法的核心技术之基于有限元方法的CAE系统，其核心思想是结构的离散化。根据经验，CAE各阶段所用的时间为：40%～45%用于模型的建立和数据输入，50%～55%用于分析结果的判读和评定，而真正的分析计算时间只占5%左右。显然单元越小（网络越细）则离散域的近似程度越好，计算结果也越精确，但计算量及误差都将增大，因此求解域的离散化是有限元法的核心技术之即单元），就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。有限元法最初应用于航空器的结构强度计算，随有计算机技术的快速发展和普及，现在有限元方法因其高效已广泛应用于几乎所有的科学技术领城。问题什么是有限元有限元法是一种有效解决数学问题的解方法。有限元分析（FEA，FiniteElementAnalysis）的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。

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有限单元法的基本原理用一弹性薄板为例来叙述说明，如图1所示。有限元方法的基本原理：将连续的求解域离散为一组单元的组合体，用在每个单元内假设的近似函数来分片的表示求解域上待求的未知场函数，近似函数通常由未知场函数及其导数在单元各节点的数值插值函数来表示。有限元法是在连续体上直接进行近似计算的一种数值方法，其基本思想通过下面的例子来说明。首先将连续的圆分割成一些三角形◇求出每个三角形的面积，再将每个小三角形面积相加，即可得到圆面积的近似值。则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。在河道数值模拟中，常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。有限元法是求解工程科学中数学物理问题的一种通用数值方法。本书介绍有限元法的基本原理、建模方法及工程应用，强调理论与实践的结合。有限元法(finiteelementmethod)是20世纪60年代出现的一种数值计算方法。

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有限元法是一种有效解决数学问题的解题方法。有限元分析是指利用数学近似的方法对真实物理系统进行模拟。利用简单而又相互作用的元素(即单元)，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。有限元分析是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。有限元法的核心思想是“数值近似”和“离散化”，所以它在历史上的发展也是围绕着这两个点进行的。Galerkin)或最小二乘法等同样获得了有限元方程，因而有限元法可应用于以任何微分方程所描述的各类物理场中，而不再要求这类物理场和泛函的极值问题有所联系。基本思想:由解给定的泊松方程化为求解泛函的极值问题。解有限元方程式（1-得出位移。这里，可以根据方程组的具体特点来选择合适的计算方法。通过上述分析，可以看出，有限单元法的基本思想是"一分一合"，分是为了就进行单元分析，合则为了对整体结构进行综合分析。有限元法(FEA,FiniteElementAnalysis)的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。

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