矩阵正交化,矩阵为什么要正交化?

矩阵为什么要正交化?

因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量一定正交。而我们只需要把相同特征值对应的几个特征向量正交化即可。而斯密特正交化还有一特点，不仅正交化，还单位化，即每个向量的模都是1。因为单位化之后才是正交矩阵啊，不是列向量两两正交就叫正交矩阵了。求得特征方程的基础解系后，这几个基础解系组成的矩阵只满足两两正交的条件，还不是正交矩阵。实对称矩阵不同的特征值对应的向量都是正交的确实不需要正交化但是为了求出正交矩阵，还需要把特征向量都单位化，就可以了。求可逆矩阵要将原矩阵正交化。这是为了进行化解，使问体变得简单化。这就像代数运算中的合并同类项，约分等计算是一样的。行列式：是指将一些数据建立成计算方阵，经过规定的计算方法最终得到一个数。实对称矩阵的相似对角化要用正交矩阵一般都是为了简化后续的计算。因为实对称矩阵是特殊的矩阵。拿三阶来说就是三个维度为立体，二次型转换相当于将原来的坐标整个以原点为定点转一定角度。然后得到一个新的三维空间坐标系，为了保证坐标轴都垂直对应线代里面的正交化，为了保证新坐标长度不变则要进行单位化。

什么是矩阵的正交化?

正交基的求法比较固定，就是施密特正交化的过程。将基a1=a2=a3=化成标准正交基。对于n阶矩阵，正交变换求正交矩阵时,如果同一特征值的特征向量没有正交，则需要施密特正交化使其正交。施密特正交化（Schmidtorthogonalization）是求欧氏空间正交基的一种方法。矩阵没有正交化或单位化，进行正交化或单位化的是向量，对n个线性无关的向量进行正交化后再单位化可以得到一个正交向量组，将这些向量竖着写（横着也无所谓）就可以得到一个正交矩阵。一句话来解释是：正交矩阵有很多好的性质可以为我们所用！！再来具体说一下：如果不做正交单位话，我们也可以通过U（把特征向量按照列写成的矩阵），把一个实对称矩阵对角化为以它的特征值为对角元的对角矩阵。名为正交矩阵，但却并不是只要满足正交就叫正交矩阵。但是正交矩阵的定义却很明白，A乘A的转置等于E才叫正交矩阵。这个公式稍微变换一下，比如两边取个行列式，就可以看出，只有做了单位化才能满足这个等式。

矩阵怎样正交化?

将基a1=a2=a3=化成标准正交基。用正交变化法换其标准型大致分为以下几个①根据对称矩阵的性质，写出矩阵A；②求|入E-A|＝0的特征值；③将所求特征值代入（入E-A），解（入E-A）x＝B的解系，得到对应特征向量。返回矩阵A的正交基，B的列与A的列具有相同的空间，B的列向量是正交向量，满足B'*B=eye(rank(A))，B的列数是A的秩。求矩阵x=[0;1;3]的正交基。然后再通过施密特正交化过程把这组基变成它的标准正交基，这些标准正交基分别做为矩阵T的第一直到第n列，T为正交矩阵，是T'AT为对角形。Y=（yyy^TX=（xxx^T=PYX^TAX=Y^TP^TAPY知道对称矩阵A，求出A的特征值，特征向量，然后正交化，单位化，再拼成正交矩阵P。就可以直接写结果了。最后的结果和P的拼法有关。你的思路是对的，但是有几点错误：用施密特正交化，那么只需要将不正交的两个正交化即可（不同特征值对应的特征向量一定与其他特征向量正交）。

矩阵正交化

如果不做正交单位话，我们也可以通过U（把特征向量按照列写成的矩阵），把一个实对称矩阵对角化为以它的特征值为对角元的对角矩阵。…，αm出发，求得正交向量组ββ……，βm，使由αα……，αm与向量组ββ……，βm等价，再将正交向量组中每个向量经过单位化，就得到一个标准正交向量组，这种方法称为施密特正交化。不是的。正交矩阵要满足如下条件：矩阵A和它的转置矩阵A’要互为逆矩阵。我们以二次型矩阵A的特征矩阵为基础，利用正交化法进行变换，思路是正交矩阵（AAT=E)的转置等于逆，利用正交矩阵使A对角化(以特征值为对角线元素的对角矩阵)。

矩阵的正交化有什么作用?

正交矩阵实现的变换称为正交变换，酉矩阵实现的变换成为酉变换，它的好处是保持空间的几何度量不变，所以它们也称为刚体变换。比如一个元经过一个一般的满秩变换，它可能就变成椭圆，而经过正交变换或酉变换，它还是圆。矩阵正交化肯定会改变矩阵。但是不会改变特征值。改变后的矩阵和原矩阵表示同一线性变换。张宇线代讲得很清晰，用坐标系来理解更容易。拿三阶来说就是三个维度为立体，二次型转换相当于将原来的坐标整个以原点为定点转一定角度。正交化后，P^T=P^-所以正交化的目的就是为了得出P^TAP=P^-1AP为对角阵。只有对角线上有非0元素的矩阵称为对角矩阵，或说若一个方阵除了主对角线上的元素外，其余元素都等于则称之为对角阵。这样求得的对角阵对角线上元素正好是特征值，这种变化叫正交变换。否则，叫可逆变换，求得的对角阵上元素并不一定是特征值。

求可逆矩阵为什么要正交化

而对于一个实对称矩阵，它的属于不同特征值的特征向量天生就是正交的，这使得我们只要在每个特征值内部选取合适的互相正交的特征向量，就能保证所有的特征向量都正交。特征向量乘以一个系数，仍然还是特征向量。如果题目只是求可逆矩阵P,使P^–1AP为对角矩阵，就不需要把重根对应的特征向量施密特正交化，如果题目求正交矩阵Q,使得Q^TAQ是对角矩阵,就需要把重根对应的特征向量用施密特正交化方法正交化，所以一定要看清题目的要求。可逆矩阵是指在数学中，对于一个n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得矩阵A和B的乘积为单位阵，则称A为可逆阵，B为A的逆矩阵。若方阵A的逆阵存在，则称为非奇异方阵或可逆方阵。然后得到一个新的三维空间坐标系，为了保证坐标轴都垂直对应线代里面的正交化，为了保证新坐标长度不变则要进行单位化。当维数高了就无法用空间理解，但依然可以根据三维来推导理解。才存在正交矩阵P使得...，这时的条件结论是等价的，可交换，虽然此时P逆等于P转置，但由于第一种性质的条件限制，所以不能说存在可逆P，使得P逆AP=对角矩阵，A就一定是实对称矩阵。

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